Un percorso interattivo sui radicali
Cinque capitoli che partono dall'idea di radice n-esima e arrivano alle potenze a esponente razionale e alle prime espressioni irrazionali. Ogni capitolo è organizzato in quattro momenti: la teoria essenziale in schede richiudibili, una simulazione da esplorare muovendo i cursori, gli esercizi guidati svolti passo per passo e un quiz a risposta chiusa con correzione immediata.
Come usare l'app
- Leggi la teoria. Apri le schede una alla volta: definizioni, formule ed esempi svolti.
- Esplora la simulazione. Muovi i cursori o cambia i valori: espressioni e grafici si aggiornano subito, con la conferma numerica del risultato.
- Segui gli esercizi guidati. Prova da solo, poi rivela un passaggio alla volta e confronta il tuo svolgimento.
- Mettiti alla prova col quiz. Ogni risposta riceve subito correzione e spiegazione, con il punteggio che si aggiorna.
Suggerimento: tieni carta e penna accanto e usa le simulazioni per controllare i tuoi risultati.
Radici ed esistenza
Che cos'è la radice n-esima di un numero, quando esiste tra i numeri reali e perché √(a²) non è sempre a.
Radice n-esima: definizione
La radice n-esima di un numero a è quel numero b che, elevato alla n, dà a:
Nel simbolo n√a il numero n (intero, n ≥ 2) è l'indice, mentre a è il radicando. Per l'indice 2 si parla di radice quadrata e l'indice si sottintende: √a. Per l'indice 3 si parla di radice cubica.
Condizioni di esistenza
Che una radice esista tra i numeri reali dipende dalla parità dell'indice.
| Indice | Radicando | Risultato | Esempio |
|---|---|---|---|
| pari (2, 4, 6…) | deve essere a ≥ 0 | un solo valore, non negativo | √16 = 4 |
| dispari (3, 5…) | qualsiasi a ∈ ℝ | stesso segno del radicando | 3√−27 = −3 |
Radice quadrata e valore assoluto
Un errore frequente è scrivere √(a²) = a. È vero solo se a ≥ 0. In generale la radice quadrata restituisce un valore non negativo, quindi:
Più in generale, per un indice pari n√an = |a|; per un indice dispari n√an = a.
Significato geometrico
La radice quadrata e la radice cubica hanno un'immagine geometrica immediata:
- √a è la lunghezza del lato di un quadrato che ha area a;
- 3√a è la lunghezza dello spigolo di un cubo che ha volume a.
Un quadrato di area 9 ha lato √9 = 3; un cubo di volume 8 ha spigolo ∛8 = 2.
I radicali e i numeri irrazionali
Molte radici non danno un numero «tondo». √2 non è nessuna frazione: è un numero irrazionale, con sviluppo decimale illimitato e non periodico.
Scegli l'indice e il radicando: osserva il grafico di y = n√x, la zona in cui la radice esiste e il valore corrispondente.
Con indice pari la curva vive solo per x ≥ 0: la fascia arancione segnala i radicandi non ammessi.
Proprietà e semplificazione
La proprietà invariantiva permette di cambiare indice senza cambiare valore: da qui la semplificazione, la riduzione allo stesso indice e il confronto tra radicali.
La proprietà invariantiva
Moltiplicando (o dividendo) indice ed esponente del radicando per lo stesso numero k, il valore del radicale non cambia (con a ≥ 0):
Il motivo è che entrambi valgono la stessa potenza a esponente frazionario: am/n. Moltiplicare sopra e sotto per k non cambia la frazione m/n.
Semplificare un radicale
Semplificare significa applicare l'invariantiva al contrario: si dividono indice ed esponente per un loro divisore comune, ottenendo un radicale più semplice ma con lo stesso valore.
Riduzione allo stesso indice
Per confrontare o moltiplicare radicali con indici diversi conviene portarli allo stesso indice, scelto come minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici, usando la proprietà invariantiva.
Confronto tra radicali
Ridotti allo stesso indice, tra due radicali è maggiore quello con il radicando maggiore.
Scegli due radicali: la simulazione li riduce allo stesso indice (il m.c.m.) con la proprietà invariantiva e li confronta.
Operazioni con i radicali
Prodotto e quoziente, trasporto dentro e fuori dal segno di radice, potenza e radice di un radicale, somma di radicali simili.
Prodotto e quoziente
Con lo stesso indice, prodotto e quoziente si fanno sui radicandi:
Con indici diversi si riduce prima allo stesso indice. Esempio: √3 · √12 = √36 = 6.
Trasporto fuori dal segno di radice
Se un fattore del radicando ha esponente maggiore o uguale all'indice, può uscire dalla radice (con a ≥ 0):
In pratica si scompone il radicando cercando le potenze n-esime:
Trasporto dentro il segno di radice
L'operazione inversa: un fattore a ≥ 0 davanti alla radice entra elevato all'indice.
Potenza e radice di un radicale
Per elevare un radicale a potenza si eleva il radicando; per fare la radice di un radicale si moltiplicano gli indici:
Somma algebrica: radicali simili
Due radicali sono simili se, dopo la semplificazione, hanno stesso indice e stesso radicando. Solo i radicali simili si possono sommare, raccogliendo la parte radicale (come si fa con i monomi simili):
Scegli l'operazione e i valori: la simulazione mostra i passaggi e conferma il risultato con il controllo numerico.
Razionalizzazione del denominatore
Trasformare una frazione con radicali al denominatore in una equivalente senza radicali sotto la linea, senza cambiarne il valore.
Che cosa significa razionalizzare
Razionalizzare il denominatore vuol dire riscrivere la frazione in modo che al denominatore non compaiano più radicali. Il trucco è sempre lo stesso: moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso fattore (cioè per una frazione che vale 1), scelto in modo da eliminare la radice sotto.
Denominatore con una sola radice
Se al denominatore c'è √a, si moltiplica sopra e sotto per √a:
Per una radice n-esima n√am (con m < n) si moltiplica per n√an−m, così sotto gli esponenti arrivano a n:
Denominatore binomio: il coniugio
Se al denominatore c'è una somma o differenza con radici quadrate, si moltiplica per il coniugato (la stessa espressione col segno centrale cambiato), sfruttando il prodotto notevole (x+y)(x−y) = x² − y²:
Scegli il tipo di denominatore e i valori: la simulazione mostra il fattore giusto, i passaggi e verifica con i decimali che il valore non cambia.
Esponenti razionali ed espressioni irrazionali
I radicali come potenze a esponente frazionario, le proprietà delle potenze estese ai razionali e un primo sguardo alle equazioni irrazionali.
Potenze a esponente razionale
Per una base a > 0 si definisce la potenza a esponente frazionario proprio a partire dal radicale:
In particolare a1/n = n√a e, per l'esponente negativo, a−m/n = 1 / am/n.
Le proprietà delle potenze (estese ai razionali)
Con basi positive, le solite proprietà delle potenze valgono anche con esponenti frazionari:
Dai radicali alle potenze e viceversa
Un esempio tipico: il prodotto di due radici della stessa base con indici diversi.
Senza le potenze frazionarie servirebbe la riduzione allo stesso indice; con le potenze basta sommare gli esponenti 1/2 + 1/3 = 5/6.
Cenni sulle equazioni irrazionali
Un'equazione è irrazionale quando l'incognita compare sotto radice. Per il caso base √(f(x)) = g(x) si procede così:
- si pongono le condizioni: f(x) ≥ 0 e g(x) ≥ 0 (una radice quadrata non può essere negativa);
- si elevano al quadrato i due membri: f(x) = g(x)²;
- si risolve e si verificano le soluzioni nelle condizioni.